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      DH算法圖解+數學證明 淺顯易懂

      閱讀次數:1241 次  來源:管理員  發布時間:

      前幾天和同事討論IKE密鑰交換流程時,提到了Diffie-Hellman交換。DH算法最主要的作用便是在不安全的網絡上成功公共密鑰(并未傳輸真實密鑰)。但由于對于DH算法的數學原理則不清楚,因此私下對DH算法進行一個簡單學習。

      1. DH算法的交互流程:

      Alice和Bob都有一個只有自己知道的私鑰,在特定規則(g, a, p)下生成自己的公鑰A; Alice將自己的公鑰A,連同g, p共同發給BobBob在收到Alice發送來的公鑰A, g, p后,先使用相同的規則((g, a, p))生成自己的公鑰B;在使用Alice的公鑰A計算生成共享密鑰KBob將自己的公鑰B發送給Alice即可。(Alice已經有g, p, 因此無需在發送)Alice在接收到Bob的公鑰B后,使用相同的規則計算成功共享密鑰K

      至此,Alice 和 Bob便同時擁有了共享密鑰K。此時由于各自的私鑰a,b未在互聯網上傳播,因此即使存在窺探者Eve,他僅通過公開的A\B\g\p在短時間內無法破解出a,b,K。因此DH算法便可以在不安全的網絡上協商出密鑰,基于此構建安全的加密通道。

      2. 疑問:Alice和Bob最后計算的K值一樣嗎?

      對于DH整個交互流程來說,比較簡單,基本都可以理解。但是忽然說最后的K值相等,這多少有點突然和難以置信,讓人有點猝不及防。

      書本上都是這樣解釋的:

      所以Alice和Bob的共享密鑰K是相同的。但是,總感覺沒有get到要領和精髓。因為我不知道mod(求余)的運算規則,不知道如下等式是否成立???

      因此半夜凌晨1點從剛暖熱乎的被窩又爬了出來,想要證明下他們給的公式是否正確( 其實當成定理記住也就OK了,不過我嘛,還是爬起來了)。證明這個公式也很簡單:將求余運算轉換為加減乘除運算,然后利用二項式展開公式便可以得到答案。

      至于為什么要將求余運算轉換為加減乘除四則運算,原因是我不知道求余算法的規則,不然我也不需要多此一舉了。

      證明開始:

      令:

      則:

      根據①②式可得:

      將③帶入上式可得:

      使用二項式展開公式將

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